Свойства степеней
Бесплатно

Свойства степеней: правила и примеры

Основные свойства степеней для 7 класса: формулы, короткие объяснения, примеры и типичные ошибки.
Выбрать правило
x²
a³ · a⁴
(x²)³
a⁻²
Содержание

Быстро найди нужное свойство

01
Что такое степень
Основание, показатель и значение степени
02
Умножение степеней
При одинаковом основании показатели складываем
03
Деление степеней
При одинаковом основании показатели вычитаем
04
Степень степени
При возведении степени в степень показатели перемножаем
05
Степень произведения и частного
Показатель относится к каждому множителю
06
Нулевая и отрицательная степень
a⁰ = 1 и переход к обратному выражению
01

Что такое степень

aⁿ
Правило

Степень показывает, сколько раз число или выражение умножается само на себя.

aⁿ = a · a · ... · a

a — основание степени, n — показатель степени.

Пример
2³ = 2 · 2 · 2
2³ = 8

Основание 2 умножается само на себя три раза.

Типичная ошибка
Показатель степени не означает умножение основания на показатель. Например, 2³ — это 2 · 2 · 2, а не 2 · 3.
02

Умножение степеней

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Правило

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели складываем.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Пример
x³ · x⁵
= x³⁺⁵
= x⁸
Типичная ошибка
Показатели складывают, а не перемножают. x³ · x⁵ = x⁸, а не x¹⁵.
03

Деление степеней

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Правило

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а из показателя делимого вычитаем показатель делителя.

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

При делении предполагается a ≠ 0.

Пример
x⁷ : x³
= x⁷⁻³
= x⁴
Типичная ошибка
Важно соблюдать порядок вычитания: показатель делителя вычитается из показателя делимого.
04

Степень степени

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Правило

При возведении степени в степень основание сохраняется, а показатели перемножаются.

(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Пример
(x²)³
= x²·³
= x⁶
Типичная ошибка
Здесь показатели не складывают: (x²)³ = x⁶, а не x⁵.
05

Степень произведения и частного

(ab)ⁿ
Произведение

При возведении произведения в степень показатель относится к каждому множителю.

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
Частное

То же правило работает для частного:

(a / b)ⁿ
= aⁿ / bⁿ

Здесь b ≠ 0.

Типичная ошибка
Показатель нужно применить ко всем множителям, числителю и знаменателю. Нельзя возвести в степень только одну часть выражения.
06

Нулевая и отрицательная степень

a⁰ = 1
Нулевая степень

Любое ненулевое число или выражение в нулевой степени равно единице.

a⁰ = 1, при a ≠ 0
5⁰ = 1
x⁰ = 1, если x ≠ 0
Отрицательная степень

Отрицательный показатель означает переход к обратному выражению.

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
x⁻³ = 1 / x³
(2 / 3)⁻² = (3 / 2)² = 9 / 4
Типичная ошибка
Отрицательный показатель не делает значение степени отрицательным. Например, x⁻² — это 1/x², а не −x².
Практика

Закрепи свойства на тренажёрах

Тренажёры по отдельным темам входят в модуль «Степени». Бесплатная диагностика поможет начать с проверки знаний.
Бесплатная диагностика →Все тренажёры модуля →

Свойства степеней в алгебре

Свойства степеней позволяют упрощать выражения и выполнять действия со степенями без длинных вычислений. В 7 классе важно научиться различать правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, а также степени произведения и частного.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а при делении — вычитают. Если степень возводится в другую степень, показатели перемножают. Для произведения или частного показатель степени применяется к каждому множителю, числителю и знаменателю.

Отдельно важно помнить свойства нулевой и отрицательной степени. Ненулевое выражение в нулевой степени равно единице, а отрицательный показатель степени означает переход к обратному выражению.

После изучения правил полезно закрепить каждое свойство отдельно, а затем перейти к смешанным заданиям, где сначала нужно самостоятельно определить, какое правило степеней следует применить.

Правила вспомнили

Теперь проверим, что уже получается

Пройди короткую бесплатную диагностику из трёх заданий и посмотри первый результат.

К диагностике →